|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Re: Bewijs met cosinusregel
bereken 1
I=(bep. integraal)(ln (1+x))\(1+x2) dx
0
door de substitutie x=(1-t)\(1+t) wordt I omgevormd tot een uitdrukking waarin I opnieuw voorkomt. bepaal I
als ik die substitutie invul kan ik niet direct verder, heb al vanal geprobeerd.
de uitkomst heb ik ook:(pln2)\8
ma ik zou graag ook de berekening weten
Antwoord
Hoi,
Geniale zet natuurlijk om x=(1-t)/(1+t) te nemen...
We rekenen even door wat dit precies impliceert voor de 'onderdelen' van de integraal:
x=0 Þ t=1
x=1 Þ t=0
1+x=2/(1+t)
1+x2=2.(1+t2)/(1+t)2
dx=[-1.(1+t)-(1-t).1]/(1+t)2.dt=-2dt/(1+t)2
We hebben dus:
I =
Int(ln(1+x)/(1+x2) dx,x:0..1) =
Int(ln[2/(1+t)].(1+t)2/[2.(1+t2)].(-2)/(1+t)2 dt,t:1..0) =
Int([ln(2)-ln(1+t)]/(1+t2) dt,t:0..1) =
ln(2).Int(1/(1+t2) dt,t:0..1) - Int(ln(1+t)/(1+t2) dt,t:0..1) =
ln(2).I0 - Int(ln(1+x)/(1+x2) dx,x:0..1) =
ln(2).I0 - I
Zodat:
2.I=ln(2).I0 en dus:
I=ln(2).I0/2
Hierin is
I0 =
Int(1/(1+t2) dt,t:0..1) =
bgtg(1)-bgtg(0) =
p/4
Zodat
I = ln(2).(p/4)/2 = p.ln(2)/8
Groetjes,
Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
